2020-03-02

ゆるふわリー群論入門（４）リー環・行列の指数関数

群論

この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の4本目です。

前回：多様体と接空間
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回はいよいよリー環についてやります。

リー環（リー代数）

前回は、接空間について考えました。リー群は積に閉じているという特徴を持つので、接空間にも普通の多様体にはない性質があるのかもしれません。

交換子積

リー群上の２つの曲線の積を考えてみましょう。リー群は群だったので、各点における積を考えることが可能です。それを連続的に行ったものが曲線の積だと考えられます。今、 $x(t), y(t)$ という2つの曲線があって、 $t=0$ における接ベクトルが $X, Y$ だったとします。この二つの曲線の積としては $x(t)y(t), y(t)x(t)$ の２つが挙げられます。これらの接ベクトルはどうなっているでしょう？

2020-02-28

ゆるふわリー群論入門（３）多様体

群論

この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の3本目です。

前回：線形リー群
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回は、多様体という観点を導入します。

多様体的アプローチ

前回は、リー群を線形リー群などに局所同型な位相群として定義しました。そこで、リー群における「局所」の具体的なイメージを考えて行くことにしましょう。

接平面

2次の特殊線形群 $SL(2, \mathbb{R})$ を考えます。この行列を4次元のベクトルと捉えなおすことで、相対位相が導入できました。 $SL(2, \mathbb{R})$ は、4次元空間 $\mathbb{R}^4$ での $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ という座標系を考えたとき、

$det(x) = x_1 x_4 - x_2 x_3 = 1$

という方程式を満たす超曲面にあたります。3次元空間において1つの方程式で表される図形が（2次元的な）曲面に対応する様子を、さらに高次元である場合でも同じように考えた名称が超曲面です。ここからは、どうしても4次元を図にすることは出来ないため、3次元的な図に合わせて4次元やもっと高次元の世界を何となく想像するようにしてください。

2020-02-24

ゆるふわリー群論入門（２）線形リー群

群論

この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の2本目です。

前回：位相群
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回は、正則行列で親しみやすい線形リー群を考えてから、一般のリー群とは何かをざっくり見ることにします。

一般線形群

群論の第3回あたりで一般線形群について触れました。一般線形群とは正方行列のうち、正則、つまり逆行列の存在する行列の群のことを指すものでした。n次の一般線形群は、成分を実数のみにしたときは $GL(n, \mathbb{R})$ 、複素数にした場合は $GL(n, \mathbb{C})$ と表します。 $GL$ は General Linear (Group) の略です。