SE(3)不変とタンパク質立体構造予測④：SE(3)同変な深層学習

前回、SO(3)同変な関数を考えるための数学的基礎として、球面調和関数を用いた関数の展開とClebsch-Gordan係数による次元の変換を扱いました。

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今回は、これらを陽に用いた機械学習フレームワークとして、SE(3)-Transformers の理解を目指します。

オトナの熱力学入門①：熱力学第一法則のための微分幾何

このシリーズでは、「熱力学」と呼ばれる学問を様々な視点から考え、さらにそれを他の学問に適用することについて扱います。

「オトナの熱力学入門」とかいうシリーズ記事書こうかな

平衡熱力学→非平衡線形熱力学→非平衡定常熱力学→非平衡非定常…

みたいな流れを、微分形式、確率過程みたいな数理もしつつ、情報幾何とか生物（特に細胞膜とMDあたり）扱うノリで

もちろん、自分の勉強のためにね

— かくびー (@cakkby2) 2025年5月2日

基本的に自分の勉強のために執筆するため、必ずしも正しいとは限りません。また、トピックは非常に多岐にわたる（微分幾何、統計力学、解析力学、情報科学、情報幾何、生物学、経済学など）と思いますが、その回で必要とする事前知識はまず初めに提示し、それ以外の知識はその場で解説することにします。内容に関する批判・コメントや質問などあれば、随時記事にコメントいただければ幸いです。

シリーズの最初はやはり、熱力学の基礎である「平衡熱力学」を扱うことについて考えてみます。しばらくの目標は、

平衡状態を記述するためにはどのような数学があるべきか

です。また、事前にある程度仮定することとして、

• 平衡熱力学の基本的なことを知っている（特に、熱力学第一法則）
• 線形代数の基本的なことを知っている（特に、線形空間）
• 微積分・ベクトル解析の基本的なことを知っている（特に、偏微分/全微分や微分方程式）
• 解析力学・統計力学について（少しは）聞いたことがある

を挙げておきます。

もし生物情報科学専攻の大学院生が "StableDiffusion" を理解しようとしたら 10 ~追加学習と学習阻害~

前回

cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回は、主にStable Diffusion自身ではなく、それに関連した話題を扱う予定です。汎用の画像生成モデルを特殊な用途に転用する追加学習、およびStable Diffusion等のLatent Diffusion Modelの学習を阻害する仕組みについて説明していきます。

（一介のしがない）イラストレーターとしては「敵（追加学習）を知り己（学習妨害）を知れば百戦危うからず」という感じですね。

SE(3)不変とタンパク質立体構造予測③：球面調和関数とSE(3)同変性

前回

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前回に引き続き、SE(3)不変/同変のための数学的な基礎を説明します。前回よりもっと難しいので、不明点はコメント等で教えてもらえるとありがたいです。

球面調和関数

前回「軌道量子数」を紹介した時、なぜ量子？と思われた方がいると思います。実は、この軌道量子数は電子の軌道と対応していることが知られています。

量子力学において、電子は原子核の周囲を「回っている」と考えられています。つまり、何かしらの軌道に沿って動いていることになりますが、粒子がそのような運動（角運動）をしているならば、対応するエネルギーを持っているはずです。量子の世界では、エネルギーは連続的ではなく離散的にしか取れないため（これは、量子が「波」であり、特定のエネルギー以外は打ち消しあってしまうからです）、電子の軌道もそのエネルギーに対応して離散的に分布しています。

この離散的な電子軌道には、s軌道やp軌道といった名前がついています。化学の本で次のような画像を見たことがある人は多いと思います。

球面調和関数。Wikipediaより引用。

これらは、球面調和関数と呼ばれる関数です。球面調和関数は 1個, 3個, 5個, ...と種類が分かれていますが、この数値はSO(3)の各既約表現の次元と一致しています。ここでは証明などを省いてしまいますが、軌道量子数 で表される 次元の既約表現に対し、対応する 個の球面調和関数が得られます。

例えば、回転行列などの3次元の既約表現に対して、p軌道に対応する の3つの球面調和関数は

と書かれます。2つ目の添え字 がマイナスから始まるのは、導出や量子力学における意味合いなどの都合によるものですが、 で 個が表せる便利な記法と言えます。