この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の6本目です。今回は、リー環の構造を考え始めるために、生成子と構造定数、またリー環・リー群の随伴表現についてやります。2種類の微分を区別しつつ、また随伴という言葉の意味も考えつつ、キリ…

リー群論5本目です。局所的構造のリー環を大域まで拡げるため、指数関数による局所座標と多様体による新しい定義を扱い、指数写像expの全射・単射条件という観点から、単位元の連結成分（解析的部分群）・連結コンパクトリー群・普遍被覆群（単連結リー群）…

リー群論4本目です。いよいよリー環（リー代数）について、交換子積・行列の指数関数・１パラメータ部分群という観点で考えます。また、等質性・ベクトル場という立場からも、接空間の元としてのリー環を考えます。

リー群論3本目です。リー群を多様体としてみるために、局所座標系・アトラス・微分同相と解析的、といった考えを扱い、リー環につながる接(ベクトル)空間・写像の微分・逆関数定理について扱います。

リー群論2本目です。一般線形群のもつ線形リー群の例（特殊線形群SL(n,R),SL(n,C),直交群O(n),特殊直交群/回転群SO(n),ユニタリ群U(n),特殊ユニタリ群SU(n),斜交群Sp(2n,C),ローレンツ群O(3,1)）を見て、局所同型としての一般のリー群の定義を考えます。

リー群と表現をふんわり解説しています。位相を持つ群に関して、群論・位相とは何か・近傍・境界と開集合・連続性・コンパクト空間・連結性と単連結などの位相空間論をイメージ含めてざっとやります。

既約表現への分解を考えます。準同型写像を抑えたのち、表現の直和（ブロック対角型）に分解するために、指標という量や①ユニタリ性定理②大直交性定理③次元数と位数の関係④指標の直交性、などの定理を扱います。

群の行列表現を考えます。群の元を自然な形で行列と対応させることが表現につながっているようです。一般線形群などは表現の一種で、共役や相似変換も行列で表せます。恒等表現など種々の表現も見てみます。

群の分類を考えましょう。同値関係の規則と同値類への分解とは何か、また群論での重要な同値類である共役類や剰余類をざっくり見ます。軌道やその可視化であるケイリーグラフも扱います。

群論とその表現について書いていきます。群の導入・共役類と剰余類・表現・準同型写像・大直交性定理や指標・既約分解をすんなりざっくり理解出来るになります。今回はアンモニア分子で群と対称性を考えます。