ゆるふわリー群論入門（４）リー環・行列の指数関数

この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の4本目です。

前回：多様体と接空間
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回はいよいよリー環についてやります。

リー環（リー代数）

前回は、接空間について考えました。リー群は積に閉じているという特徴を持つので、接空間にも普通の多様体にはない性質があるのかもしれません。

交換子積

リー群上の２つの曲線の積を考えてみましょう。リー群は群だったので、各点における積を考えることが可能です。それを連続的に行ったものが曲線の積だと考えられます。今、 $x(t), y(t)$ という2つの曲線があって、 $t=0$ における接ベクトルが $X, Y$ だったとします。この二つの曲線の積としては $x(t)y(t), y(t)x(t)$ の２つが挙げられます。これらの接ベクトルはどうなっているでしょう？

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} (xy)}{\mathrm{d}t}(0) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}(0)y(0) + x(0)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t}(0) = X+Y$

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} (yx)}{\mathrm{d}t}(0) = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t}(0)x(0) + y(0)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}(0) = X+Y$

積の微分公式によって計算したところ、同じ答えになりました。でも例えば、行列の積は順番によって普通は異なる答えになるはずでした（いわゆる「非可換性」）。曲線にしたところでこの性質は消えないはずです。接ベクトルよりもっと丁寧に見なければ非可換性は現れてこないということなのでしょう。

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より精度の高い近似をするためには、テイラー展開を考えます。前回、リー群上の関数は $C^\omega$ 級と考えて問題ないと言ったので、気楽にテイラー展開することが出来ますね。各曲線をテイラー展開してみると、

$\displaystyle x(t) = 1 + tX + \frac{t^2X^{(2)}}{2} \ \ (X^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(0))$

$\displaystyle y(t) = 1 + tY + \frac{t^2Y^{(2)}}{2} \ \ (X^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(0))$

となります。 $X^{(2)}$ は２階偏微分（のベクトル）です。２曲線の積の２次まで考慮したテイラー展開を見てみると

$\displaystyle x(t)y(t) = 1 + t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^{(2)} + 2XY + Y^{(2)}) + O(t^3)$

$\displaystyle y(t)x(t) = 1 + t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^{(2)} + 2YX + Y^{(2)}) + O(t^3)$

$O(t^3)$ はランダウの記号と呼ばれ、括弧内の $t$ の次数より高次の式をまるごとざっくりまとめてしまったものと言えます。プログラミングで計算量のオーダーを示すときにも使いますね。それはともかく、順番の異なる積の間に違いが出てきました。この違いを見るためにこの２つの差を求めると

$x(t)y(t) - y(t)x(t) = t^2(XY - YX) + O(t^3)$

ここで、もし $t$ を $t' = \sqrt{t}$ と置いてみると、 $t'^2 = t$ となり１次の項まで落とすことが出来ます。もっとも、 $XY - YX$ が接ベクトルとなる曲線を考えることも出来て

$z(t) = x(t')y(t')x(t')^{-1}y(t')^{-1} = 1 + t(XY - YX) + O(t'^3)$

に対して

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d}t}(0) = XY -YX$

となります。このように、接ベクトルの中には $XY-YX$ というパターンのものも含まれます。これはむしろ、接ベクトル $X, Y$ が $XY - YX$ という演算に関して「閉じている」と考える方がよさそうです。どんな $X, Y$ に対しても $XY - YX$ が接空間のとある１つの元に対応しているからです。

そこで、 $[ X, Y ] = XY - YX$ という演算子を用意します。この括弧の形をした２項演算子は交換子積（リー括弧積・交代積など）と呼ばれています。上の結果から、線形リー群の単位元における接ベクトル空間は交換子積に関して閉じていることになります。この交換子積の計算を（行列を例に）色々と考えてみると

$[X, X] = 0$
$[Y, X] = YX - XY = -[X, Y]$

$[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$

が成り立ちます。この最後の恒等式は、ヤコビ恒等式と名付けられています。また、 $[X, Y] = XY - YX$ という計算自体の意味としては、積の非可換性を測っていると言えますね。だから交換子積という名前がついているようです。

リー環

リー群における単位元の接空間がリー環と呼ばれるものだと前に言いました。もっと一般には、「交換子積に関して閉じている」性質を兼ね備えた線形空間をリー環と呼びます。

線形空間 $L$ でその任意の元 $X, Y$ に関して $[X, Y]$ という演算が定義されて

$[X, X] = 0$
$[X, Y] = -[Y, X]$

$[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$

を満たし、さらに $(X, Y) \mapsto [X, Y$ ] が自然に線形を持っている、つまり

$[aX_1 + bX_1, cY_1+dY_2] = ac[X_1, Y_1] + ad[X_1, Y_2] + bc[X_2, Y_1] + bd[X_2, Y_2]$

が成り立つとき、Lをリー環（Lie algebra・リー代数）と呼ぶ。

また、リー環の部分空間で独自に交換子積に関して閉じている場合、それを部分リー環と呼びます（普通の「部分」の意味通り）。リー環はリー代数と呼ばれることも多いです。というか最近はリー代数が主流みたいです。ただ、参考文献が大体リー環表記なのでリー環で進めることにします。

リー群に付随したリー環にはその名前に習慣があって、例えばリー群を $G$ と表した場合にそのリー環を $\mathfrak{g}$ とドイツ文字の小文字で表します。線形リー群では例えば

$GL(n, \mathbb{R}) → \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$
$O(n) → \mathfrak{o}(n)$
$SU(n) → \mathfrak{su}(n)$

となります。

１パラメータ部分群と指数関数

リー環とリー群の次元は逆関数定理から同じ次元になります。リー環について見ていく上で、とりあえず簡単な例から始めたいので、まずは１つの接ベクトルだけで構成されたリー環を考えることにしましょう。つまり、１次元のものを考えます。

例えば、 $X \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$ という $n$ 次正則行列を考えます。この行列のスカラー倍が成す（直線的な）線形空間

$\mathfrak{g} = \{\lambda X \ |\ \lambda \in \mathbb{R}\}$

は $[X, X] = 0 \in \mathfrak{g}$ が成り立つので $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$ の部分リー環を成します。この時、単位元 ( $1_n$ とします) の接空間が $\mathfrak{g}$ となるリー群があるのか、あるとすればどんなものなのかを考えてみます。

あるとしたら１次元のはずなので、それを曲線 $x(t)$ とおいて次の条件を課します。

$\displaystyle x(0) = 1_n, \ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) = X$

この曲線は $GL(n, \mathbb{R})$ に含まれる行列で自然と構成されていると考えられます。そのため、この曲線がリー群だとするには積が閉じていることを条件にすればよくて、それは

$x(t_1)x(t_2) = x(\varphi(t_1, t_2))$

と表せます（ $\varphi(t_1, t_2)$ はある種の関数）。

もし $t_1, t_2$ の片方が $0$ の場合、 $x(0) = 1_n$ なので

$x(\varphi(0, t_2)) = x(t_2), \ x(\varphi(t_1, 0)) = x(t_1)$

$\therefore \varphi(0, t) = \varphi(t, 0) = t$

この条件だけでは色々と候補がありそうですが、とりあえず

$\varphi(t_1, t_2) = t_1 + t_2$

という単純なものが考えられます。とにかくこのパターンで行ってみましょう。

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今までは単位元のみの接ベクトルを考えていました。しかし $t_1 + t_2$ という条件を使えば、単位元以外の各点の接ベクトルを $t$ によって表現することが出来ちゃいます。 $t_1$ を固定しながら $t_2$ を微分の定義に用いてみれば

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d} x(t_1)}{\mathrm{d} t_1} &=& \lim_{t_2 \to 0} \frac{x(t_1 + t_2) - x(t_1)}{t_2} \\ &=& \lim_{t_2 \to 0} x(t_1) \frac{x(t_2) - 1_n}{t_2} \\ &=& x(t_1) \ X \end{eqnarray}$

$\displaystyle \therefore \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} = x(t) \ X$

このように、各点での接ベクトルが満たすべき微分方程式が導出されます。

さてこの微分方程式、いかにも指数関数が答えになりそうな感じがしませんか？もちろん $X$ が行列な点は不思議ですが、微分したら同じ関数に $X$ がかかっただけのものとなる様子からは、その解に指数関数的な雰囲気が漂ってきます。

そこで、今までなかった行列の指数関数を考えてみることにしましょう。指数関数をテイラー展開でべき乗の世界に落とすことが出来るので、行列のべき乗と組み合わせればよさそうです。

行列の指数関数を次のように定義する。

$\displaystyle \exp X = e^X = \sum^{\infty}_{j=0} \frac{X^j}{j!} = 1 + X + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + \dots$

また、パラメータ $t$ を含む場合も
$\displaystyle \exp (tX) = e^{tX}= \sum^k_{j=0} \frac{t^j X^j}{j!} + O(t^{k+1})$
と表せる。

普通の指数関数の変数部分を、行列でもOKにしただけです。曲線がリー群になると仮定すれば、その $C^\omega$ 級によって右辺が必ず収束します。言い換えるなら、 $\exp X$ の収束半径は ∞ になります。

この指数関数が微分方程式を満たすかどうかを見てみます。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{tX} &=& \lim_{h \to 0} \frac{e^{(t+h)X} - e^{tX}}{h} \\ &=& \lim_{h \to 0} e^{tX} \frac{e^{hX} - 1_n}{h} \\ &=& e^{tX} \ X \end{eqnarray}$

大丈夫そうです。この計算はもっとざっくりと、展開した式での微分で考えることも出来て

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (1_n + tX + \frac{t^2X^2}{2!} + \dots) &=& X + tX^2 + \frac{t^2X^3}{2!} + \dots \\ &=& e^{tX} \ X = X \ e^{tX}\end{eqnarray}$

となり、出てきた $X$ は前後のどちらでも構わないことも分かります。この時の $x(t)$ は「積に関して閉じている」条件を満たすため、線形リー群となります。

このように、ある（行列型の）リー環の元（接ベクトル） $X$ に対応して、行列の指数関数である曲線 $\exp(tX)$ が線形リー群となります。この $\exp(tX)$ という形のリー群を、１パラメータ部分群と呼びます。

１パラメータ部分群は積に関して閉じているはずですが、具体的にどんな感じでちゃんと閉じているのかを確かめてみたくないですか？僕はなりました。

$\displaystyle \begin{eqnarray} e^{tX} \ e^{tY} &=& (1_n + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3))(1_n + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)) \\ &=& 1_n + t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2) + O(t^3) \end{eqnarray}$

行列には可換性がないため $(X+Y)^2 = X^2 + XY + YX + Y^2$ となります。そうなると、上式は単純な $\exp(t(X+Y))$ とは異なりそうです。

こんな時、 $\exp$ の肩から降ろせるような、つまり $\exp$ の中身だけ取り出せるような関数が導入出来ると嬉しいです。そんな関数と言えばやはり、普段は逆関数となる $\log$ ですね。行列での $\log$ も、テイラー展開を用いて定義できます。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \log(X) &=& \sum^{\infty}_{j=1} \frac{(-1)^{j-1}}{j}(X - 1_n)^j \\ &=& (X - 1_n) - \frac{1}{2}(X-1_n)^2 + O(t^3) \end{eqnarray}$

ただし $\log$ には収束半径が存在しており、 $||X - 1_n|| < 1$ の必要があります。でも $t \approx 0$ な分には大丈夫そうです。

$\log(\exp(X)) = X$

がこの範囲で成り立つので、これを先ほどの式にも適応してみると

$\displaystyle \begin{eqnarray} \log(e^{tX}e^{tY}) &=& (e^{tX}e^{tY} - 1_n) + \frac{1}{2}(e^{tX}e^{tY} - 1_n)^2 + O(t^3) \\ &=& t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2) - \frac{1}{2}(t(X+Y))^2 +O(t^3) \\ &=& t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(XY - YX) + O(t^3) \\ &=& t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X, Y] + O(t^3) \end{eqnarray}$

交換子積が出てきました。たまたま $[X, Y]$ はリー環の元だったので、少なくとも２次までは積に関して閉じていることが分かりました。ちなみにこの先にも続きがあって複雑な式になっていますが、全て交換子積によって表現されています（Campbell-Hausdorff の公式と呼ばれています）。結局、１パラメータ部分群はちゃんとリー群になっています。

リー群の等質性と $x(t)$ の一意性

１パラメータ部分群以外の $\varphi(t_1, t_2)$ はどうでしょう？今のところ、もっとも単純な $t_1 + t_2$ だけしか考えていないので、もっとたくさん存在してそうです。

これを調べるために、リー群の等質性について考えます。

リー群を群論の立場で考えると、群とは「動き」自身のことであって、その群が作用する空間がありました。リー群 $G$ では多様体 $M$ に作用することが出来て、 $x \in M$ の軌道は

$Gx = {gx \ |\ g \in G}$

となります。この時

$^\forall x \in M, Gx = M$

が成り立つならば、 $G$ は $M$ に推移的に作用すると呼びます。なぜ「推移的」？それは、 $M$ 上のどんな点も $G$ の作用によってスルスルと万遍なくたどり着くことができる、つまり

$x_1, x_2 \in M, ^\exists g \in G , x_2 = gx_1$

が成り立つからです。そして、このような $G$ の存在する $M$ が等質空間と呼ばれます。群の作用が全体に効いても軌道が同じになるということは、作用する全体が全て似通った均等な空間になっているからだ、ということでしょう。

本題のリー群には積の構造がありましたが、あれもよく考えれば推移的な作用をしていると言えます。つまり、リー群自身もリー群の作用における等質空間だと言えます（この時の群を群多様体と呼んだりするそうです）。

$x \in G, \ Gx = G$

群の各点は互いに似通っている、あるいは単位元と似通っていることになります。位相群ではさらに、単位元の近傍を群の作用で

$U_{1_n} \to U_x$

へと移したときに、その近傍同士が位相同型（ $C^\omega$ 級の微分位相同型にもなる）だと言えます。リー群上の各点は大抵、雰囲気が同じってことです。

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これを踏まえ、単位元を通過するリー群の曲線 $x(t)$ を考えます。 $x(t)$ もリー群の元なので、その等質性から接空間も群の作用分の変形しか受けないはずです。つまり、単位元の接空間 $\lambda X$ に対して $x(t)$ 各点での接空間は $\lambda x(t) X$ になります。

そうなると、どんな形の曲線であっても接ベクトルは必ず $\lambda(t) x(t) X$ という形で（ $\lambda$ 部分は $t$ によって変わる可能性アリ）

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} = \lambda(t) x(t) X$

という微分方程式に帰着します。

実はこのタイプの微分方程式は変数変換によって１パラメータ部分群と同じものでしかないことが言えてしまいます。

$\displaystyle t' = \int_0^t \lambda(t) dt$

とおき、１パラメータ部分群 $x_0(t)$ の $t$ を $t'$ に変えれば

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d} x_0(t')}{\mathrm{d} t} &=& \frac {\mathrm{d} t'}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} x_0(t')}{\mathrm{d} t'} \\ &=& \lambda(t) x(t) X \end{eqnarray}$

と同じ微分方程式に帰着します。 $x_0(t')$ は初期条件２つも満たすので、１パラメータ部分群の単なるパラメータの違いだったことになります。ちなみに $\lambda(t)$ が必ず正になるため、積分による変数変換 $t'$ は必ず出来ます。

以上より、どんな曲線も結局１パラメータ部分群と同じものとなるので、線形リー群の１次元のリー環 $\mathfrak{g}$ は１次元のリー群 $G$ に１対１対応すると言えます。

ベクトル場的な見方

単位元における接ベクトル $X$ は、等質性よりリー群上の各点 $x$ に $x\ X$ として移されます。こんな感じで各点に一つのベクトルが付随する対応は、ベクトル場と呼ばれています。電磁場でおなじみのやつです。このベクトル場を「速度ベクトル」が各点に存在したものと考え、その点の上にあるものはその速度ベクトルの動きをすると考えることにしましょう。

１パラメータ部分群は微分方程式

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} = x(t) \ X$

の解ですが、これを速度ベクトル場的に考えるとどうなるでしょうか？

単位元に置いた物体が最初 $X$ の速度で動き出し、その後も移った先の点で速度ベクトルを受けて動いていく、この時の動きの流れが１パラメータ部分群に相当します。ベクトル場を川と考えて、単位元から色水を流したときに色がついて見えるようになる水の流れとも取れますね。多様体におけるこのベクトル場の「流れ」に対応した用語は積分曲線と言います。リー環によるベクトル場を「流れの向き」とするならば、１パラメータ部分群は「流れ」自身を指すものと考えられます。

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