2020-02-28

ゆるふわリー群論入門（３）多様体

群論

この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の3本目です。

前回：線形リー群
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回は、多様体という観点を導入します。

多様体的アプローチ

前回は、リー群を線形リー群などに局所同型な位相群として定義しました。そこで、リー群における「局所」の具体的なイメージを考えて行くことにしましょう。

接平面

2次の特殊線形群 $SL(2, \mathbb{R})$ を考えます。この行列を4次元のベクトルと捉えなおすことで、相対位相が導入できました。 $SL(2, \mathbb{R})$ は、4次元空間 $\mathbb{R}^4$ での $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ という座標系を考えたとき、

$det(x) = x_1 x_4 - x_2 x_3 = 1$

という方程式を満たす超曲面にあたります。3次元空間において1つの方程式で表される図形が（2次元的な）曲面に対応する様子を、さらに高次元である場合でも同じように考えた名称が超曲面です。ここからは、どうしても4次元を図にすることは出来ないため、3次元的な図に合わせて4次元やもっと高次元の世界を何となく想像するようにしてください。

2020-02-24

ゆるふわリー群論入門（２）線形リー群

群論

この記事は、リー群と表現のざっくりふんわりとした解説記事の2本目です。

前回：位相群
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回は、正則行列で親しみやすい線形リー群を考えてから、一般のリー群とは何かをざっくり見ることにします。

一般線形群

群論の第3回あたりで一般線形群について触れました。一般線形群とは正方行列のうち、正則、つまり逆行列の存在する行列の群のことを指すものでした。n次の一般線形群は、成分を実数のみにしたときは $GL(n, \mathbb{R})$ 、複素数にした場合は $GL(n, \mathbb{C})$ と表します。 $GL$ は General Linear (Group) の略です。

2020-02-23

ゆるふわリー群論入門（１）位相群

群論

この記事では、リー群と表現についてざっくりふんわりと解説していこうと思います。大学初年次の微積と線形の数学があれば分かるように進めるつもりです！（そもそも自分もまだ1年生です）

量子力学に深く結びついているリー群の世界が学べれば良さそうだと思って、本の内容・考えを自分なりにまとめてみます。図をたくさん載せるので、具体的にイメージできると思います。

そもそもは自分の理解のための記事なので、数学的な厳密さは欠けていると思います。内容も網羅するわけではないので、足りないところは本でもっと読んでいただければと思います。

2020-02-16

分子からの群論解説（４）既約分解

群論

前回：群の表現
cake-by-the-river.hatenablog.jp

今回は表現の分解について考えます。今回出てくる定理の証明は、~~数学科ではないので~~すっ飛ばしちゃいます。

表現の足し算とその反対

少し本題から外れた話ですが、前回出てきた $C_{3v}$ の表現 $A_1, A_2, E$ （２次元の表現を $E$ と名付けました。単位行列や単位元ではないです）を写像という概念で考えてみます。

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前回の「群から一般線形群への対応」が写像です。特に表現は、その構造をそっくり移すようにしたものでした。このように構造を保つ写像を準同型写像と呼びます。群の表現論においては、表現と同じように

$\psi(xy) = \psi(x)\psi(y)$

が成り立つものとします。表現は一般線形群への準同型写像ということです。1次元表現の $A_1, A_2$ は、群の構造をざっくりと移すような準同型写像と言えます。つまり、群の元を数個まとめて1つの行列に対応させる、３対１などの写像です。一方 $E$ は１対１の写像です。このような写像は全単射と呼ばれ、逆の写像を考えることが出来ます。表現から群の元を同定することが出来るということです。全単射の写像は正確に群の構造を移せているので、同型写像と格上げされて呼ばれます。

さて、本題に戻りましょう。本題というのは、表現を足し合わせたものも表現になっているんじゃないか、ということです。